數學化是在對數學教育的不斷探索中提出來的一個名詞，國內外有許多研究，但理解有一定的局限性。我們認為它體現了數學學科的本質特性，有它自己的特點。

　　“數學化”，是在對數學教育的不斷探索中提出來的一個名詞，在數學教育研究中經常提到。最早研究並系統提出數學化思想的是荷蘭數學教育家漢斯•弗賴登塔爾（Hans Freudenthal）先生。

　　他認為，公理化、形式化以及模式化等這些發展數學的過程，統稱為數學化。簡言之，“籠統地說，人們在觀察現實世界時，運用數學方法研究各種具體現象，並加以整理組織，對於這一過程，我稱之為數學化。”他又說：“數學組織現實世界的過程，就是數學化。”他強調數學化的物件分為兩大類：一類是現實客觀事物，另一類是數學本身。對客觀世界進行數學化的結果是數學概念、運算法則、規律和定理為解決具體問題而構造的數學模型等；對數學本身進行數學化，既可以是某些數學知識的深化，亦可以是對已有的數學知識進行分類、整理、綜合、構造，以形成不同層次的公理體系和形式體系，使數學知識體系更系統、更完美，所以他認為任何數學都是數學化的結果，不存在沒有數學化的數學，不存在沒有公理化的公理，不存在也沒有形式化的形式。

　　基於上述思想，他提出，與其讓學生學習數學，不如讓學生學習數學化；與其讓學生學習公理系統，不如讓學生學習公理化；與其讓學生學習形式體系，不如讓學生學習形式化。學生學習數學化的過程，就是將學生的數學現實進一步提高到抽象的過程。一方面，應讓學生學習如何將非數學事物數學化，根據客觀現實形成數學概念、構造數學模型等，以保證數學的應用性；另一方面，應讓學生學習如何構造數學內容一數學本身數學化。他還認為數學化是一個發展的過程，學習數學化也是一個發展的過程。一般地說，在一個層次上進行的數學化結果，往往成為下一個數學化的研究物件，通過重組和擴充，又上升到一個新水平。在這一過程中，學生學會了數學化的同時，也學到了一定的數學知識，在學生數學化的技能、技巧和方法增長的同時，數學知識也在增長。

　　關於數學化的過程，弗賴登塔爾引用了荷蘭 Van Hiele 的理論，認為它可以分為五個水平：直觀階段、分析階段、抽象階段、演繹階段、嚴密階段。這表明數學化是一個階段一個階段的推進，不要求學生一次完成所有階段，不要過分強調公理化的演繹和形式化的證明，數學化過程應符合學生年齡特徵。

　　國內關於“數學化”的研究也有不少。鄭毓信先生在《數學文化》一書中指出：所謂 “數學化”是指如何由實際問題建構出它的數學模型，並應用數學的知識和方法去解決問題。他認為數學化的過程直接關係到數學的應用，涉及到一些十分重要的思維方法或研究思想，其中表現在兩個方面：一是由定量到定性的研究思想；二是相對於實際問題而言，數學化的過程必然包含著一定的簡化和理想化。唐瑞芬先生認為數學化是指數學地表達和組織現實，常見表現形式有形式化、程式化、公理化等；也有人認為，“數學化的過程就是現實世界中的問題轉化成數學問題的過程”。人們還有另一種理解，就是在數學獨立發展時，其他科學卻在數學化。這種數學化是指其他科學成功地運用數學，為其服務，其具體內容是：只有當一門科學的數學理論當作一種模式並加以利用時，這門科學才成為一個獨立的領域。這種數學化成了建立新的科學理論的標誌，這一點從熱力學的數學化，電磁學的數學化直至相對論和量子力學的數學化可以看出。這種科學的數學化導致了科學中的理論部分與實踐部分的分離（如理論物理與實驗物理的鴻溝在加深加寬）。

　　隨著科學技術的發展，尤其電腦的應用和數位時代的到來，科學的數學化和數位化如影相隨，這使得數學有了全新的面貌，數學與科學有了水乳交融之態。這種數學化是從另一種意義上講的，需要指出一點，起源於數學的公理法、形式化乃至模式化已經產生了廣泛的影響，這種影響已經超越出數學範圍而進入自然科學領域、人文科學領域，這是數學化的一種具體表現，也是數學理論、思想的數學化。

　　隨著人們對數學作用的研究，通過不斷的反思探究，尤其是在數學教育研究工作者的努力下，數學的作用已呈現多元化。目前的研究，人們已十分認同數學在人的發展中的作用。比較公認的觀點是數學除了對人的認知因素、世界觀、思維等有影響外，還對人的非認知因素，如意志、態度、性格等也有較大的影響。

　　從數學觀的角度看，數學的功能僅從應用的角度來看，顯然將會抹殺數學應有的功能，也不能充分地挖掘數學應有的價值潛能。目前，人們強調要實現由“靜止的、絕對主義的數學觀”向“動態的、易謬主義的數學觀”轉變就深刻地表明了這一點。人們掌握數學、學習數學，已不再是簡單地用來解決工作、生活的方方面面，而是將其滲透到學習、工作、生活等其他層面。數學是人類認識自然的中介，是人類發展中不可或缺的內容，是人類文化的重要組成部分。

　　從數學教育觀看，許多人認為數學是進行情感教育、德育的重要手段，如阿爾布斯特認為：“數學能喚醒熱情而抑制急躁，淨化靈魂而杜絕偏見和錯誤，數學的真理更益於青年人摒棄惡習”。十六世紀曾任倫敦市長兼數學教育家的比林斯利(Billingsley) 說：“許多藝術都能淨化和美化人們的心靈，但沒有一門藝術能比數學更有效地修飾人們的心靈。”前幾個世紀歐洲的數學教育家們還認為數學有制怒的作用。前蘇聯的贊可夫說：“數學法一旦觸及學生的情緒和意志領域，這種數學法就能發揮有效的作用。”布盧姆(B. S. Bloom)在《教學評價》中指出：“認知可以改變情感，情感也能影響認知，學生成績差異的1/4可由個人情感差異加以說明。”M•克萊因把數學看成是“一種精神，一種理性精神。”齊民友先生則進一步地認定數學精神集中地體現為“徹底的理性探索精神”，特別強調數學對人類精神生活的重大影響。他說：“數學深刻地影響人類的思想解放，可以概括為大大地促進了人類的思想解放，提高了人類的整個精神水平。從這個意義上講，數學使人變得更完全、更豐富、更有力量。”因此，國內外許多教育名家認為數學是進行德育的好素材，並認為數學的德育意義分為內在的德育意義和外推的德育意義。內在的德育意義是指數學本身表現出來的概念的純粹性、結構的協調性、語義的準確性、分類的完全性、計算的規範性、推理的嚴謹性、構造的能動性、技巧的靈活性等。這些特徵反應在思維方式上，則以辯證、清晰、簡約、深刻著稱，數學對於完善人的精神及品格作用顯得很突出。外推的德育意義則指從數學知識中挖掘出來的德育素材的例子也很多。此外，張楚廷先生認為，數學能使人貼近自然、崇尚真理、勤於探索、陶冶情感等；單撙先生認為數學有利於正確地認識世界觀的形成，有助於人的思維能力與創造能力的培養，有益於人的心靈淨化以及對真善美的追求和良好個性品質的形成。

　　發展諸如興趣、願望、態度、鑒賞、價值觀、義務感等特徵是各國教育界人士的主張，是教育的重要理想之一，也是人類文化傳承的目的。

　　數學文化具有特定的含義。人們認為數學作為文化，不僅是指自身屬於人類社會的一種文化現象，而且數學擁有超越自身意義的因素以及這些因素對人類的巨大影響，故應把數學置於整個人類社會的文化背景中去考察和認識。作為人類思想的產品，它不但是自然科學，也是人文科學。

　　數學的文化性也體現在數學可以幫助人們認識自然和人類社會，理解自然，更好地適應日常生活、理解周圍世界，促進思考、交流和表達、分析問題和解決問題，從而影響人的基本素質和生活質量。許多有識之士指出，數學對人的發展具有重大的作用，即數學具有其人文教育的作用。因此，數學作為一種文化，除了它對整個人類文化的重要補充以外，對於整個文化，特別是對於人類文明進步具有重要作用。從這個意義上說，我們要高度重視“數學的文化價值”，即數學對人的觀念、精神以及思維方式的養成所起的重要影響。

　　再聯繫一、二節看，我們在討論數學化時，實質上在討論三個方面的內容：作為數學化主體的人、客體是現實世界中的客觀事物以及作為載體的數學本身。如果研究數學化忽視對主體─人的關注，那麼理解數學化也就有一定的局限。

　　因此，我們認為“數學化”是指人們利用數學學習過程中所獲得的智力的及非智力的品質，及其對其他活動的影響。這種影響的物件主要包括三方面：人、客觀事物和數學本身。客觀事物和數學本身的數學化主要通過人發生作用。我們也可以這樣理解：數學化是通過人來實現的，它的表現形式有客觀事物數學化和數學本身的數學化，所以在我們的一般理解上便變成了人的數學化。人的數學化是在充分體現和挖掘數學的價值與作用的基礎上。在此，對人而言，我更傾向於把它說成是一種素養。因此，人的數學化至少應包含這樣一些涵義：一是在方法和手段上，能夠成功地應用數學知識、理論和數學方法；二是在認識與思維方式上，更多地採用數學的觀點和數學的態度去審視各種創造目標；三是從數學的人文價值裡獲得從事創造工作的智力或非智力品質。

　　基於以上的理解，數學化有如下的一些特點：

　（一）“數學化”體現數學學科本質特性。

　　為什麼很少聽到“物理化”、“生物化”？原因在於數學的學科特性不同於物理、生物。數學是一門高度發展的科學，是一門成熟的科學。恩格斯曾說：數學在一門科學中應用的程度，標誌著這門科學成熟的程度。這說明了兩點：一是數學本身具有成熟的特點。只有成熟的科學，才能成為其他科學高度利用的工具。二是數學已成為評價、衡量其他科學發展程度的量度。M•克萊因也多次提到，數學是自然界的本質屬性，並堅信“自然是上帝依據數學設計的”。康得說：在任何特定的理論中，只有其中包含數學的部分才是真正的科學。臺灣數學教育界關於數學教育發展的指導性文件《數學教育》也指出數學雖有科學之母的美稱，數學教育在本質上所肩負的是人文陶冶的使命，數學理解力的傳播與數學精英的培育，同是提升數學文化的工作，內容雖有差異，追求高層次思考的精神卻是一致的。從實用、育人、文明的角度看它獨特的地位，不僅是從該學科本身的理論而言，就學科本身的知識體系、結構、內在邏輯而言，數學的嚴謹性、確定性或不確定性，乃至它的抽象性，具有其他學科無法比擬的優勢。單就數學學科與其他學科的交融性、滲透性而言，數學就擁有了至高無上的地位。許多學科中都可以找到數學的影子；其他學科中都能發現數學的靈魂，如物理學、哲學、經濟學等。這就是上文中提到的數學化的一種。從這方面說，數學科學這些特性，使數學化有了可行性和必要性。

　　（二）數學化的一些特點

　　漢斯•弗賴登塔爾先生提出，與其讓學生學習數，不如讓學生學習數學化。數學化除了上面概述的一些內涵、特點之外，是否還有其他的一些本質的東西呢？筆者認為，認識數學化，瞭解他的本質，還可以從它的幾個特點看出：

　　1. 數學化是一種認識。對待數學、數學教育有不同態度的人，他們對數學化的認識是不一樣的。數學觀、數學教育觀決定對數學化的認識，是數學化程度的決定因素。因此，從一定意義上說，有什麼樣的數學觀和數學教育觀就有什麼樣的數學化。這就和數學方法、數學觀、數學教育觀、數學文化觀、數學思想等發生聯繫，也難以辨別到底屬哪個範疇，也容易使人對它們的內涵產生誤會，以至產生把數學方法等上升為數學化思想。

　　2. 數學化是一種狀態。它指的是對數學化主體在一定程度上的、靜態的、某一階段性的數學素養的描述。其主體可以指某一個人或某一群人。它是數學化主體有意識或無意識地對數學知識及其相關知識的一種心理反應外顯的結果。如小學生的數學化和大學生的數學化，他們的數學化狀態是不一樣的。但我們不能說他們誰數學化了，誰沒有數學化，我們談他們的數學化，描述的只是在他們各自的學習或年齡階段的數學化特點等。

　　3. 數學化是一個發展的概念。漢斯•弗賴登塔爾先生就認為數學化是一個發展的過程。在此意義下，就表明了數學化是一個發展的概念。它不是專門描述某一種狀態，也不是專門限定某一種程度。因此，數學化是沒有度量的，要指出某一狀態、某一程度是數學化了或沒有數學化是不可能的，也是沒必要的。數學化是可以指任何一種狀態、任何一種程度。從橫向看，對於擁有不同數學知識的人，他們的數學化程度是不一樣的；數學化和數學知識可以表現為一定的正相關。從縱向看，對於某一個人來說，他的數學化水平是日益提高的，是在不斷發展的。

　　4. 數學化是一個不斷深化的過程。上面提過，弗賴登塔爾先生認為在一個層次上進行的數學化結果，往往成為下一個數學化的研究物件，通過重組和擴充，又上升到一個新水平。在這一過程，學生學會了數學化的同時，也學到了一定的數學知識，在學生數學化的技能、技巧和方法增長的同時，數學知識也在增長，他要表明的就是這種觀點。

　　5. 數學化是相對主體而言，有較高數學素養的集中體現。什麼是數學素養或數學修養呢？姜伯駒先生認為至少應包括理解、抽象、見識、體驗這幾個方面。數學素養和數學素質往往難以區分。數學素質則指在先天基礎上，主要通過後天學習所獲得的觀念、能力、知識等的總稱，是一種穩定的心理狀態，是良好的數學意識，科學的思維品質，較強的創造能力和熟練運用數學語言的能力有機結合。數學素養也有三方面的內容和功能：一是知識的運用，即運用數學的意識；二是方法和能力的培養；三是觀念、品格、精神的形成。

　　對主體而言，數學化有兩個基礎：一是具有一定的數學素養；一是具有數學的表達力，也就是用數學的語言、方法、思想等來表達想要解決的問題。學習數學究竟是為了什麼應該是實現數學化，而不僅只停留在培養數學的素養上。當前，人們對數學、數學的價值認識已上升到了一個新的臺階，認為數學素養的高低，實質是數學化水平的體現和反應。數學素養直接表現為數學化的程度。

　　6.“數學化”的形式。弗賴登塔爾先生認為，“數學化”分為水平和垂直兩種。即水平方向的數學化，可以理解為一個問題向水平方向的擴展。例如，將一個現實問題轉化為數學問題。垂直方向的數學化，可以理解為是某一個問題向垂直方向的深入。例如，由特例經推廣而建立一般的公式等等。筆者認為，這種分析還不夠明確。水平方向的數學化應為橫向數學化，並理解為數學的思想、方法等向其他學科的滲透與影響，同時在其他學科中產生影響，發揮作用。例如，上文提到的數學公理化、形式化、模式化向其他學科的滲透。康橋大學學生亞當斯利用數學知識和思維發現了海王星，這是數學在物理學中的應用；歐拉用數學知識和思維解決著名的“七橋問題”，這是數學化在日常生活中解決遇到的難題。本人講述的數學化也應該在此層面上。垂直方向的數學化應為縱向數學化，並理解為在數學科學內部產生作用。許多人認為，縱向數學化極大地推動了數學的發展。這樣的事例可以說是不勝枚舉的。

（作者彭雲飛、沈文選分別為湖南師範大學講師及
湖南師範大學數學與電腦學院教授）

參考資料

1.彭雲飛，數學化是人的發展中不可缺的素養，繼續教育研究，2003年第3期。
2.吳開朗等，論弗賴登塔爾的數學教育觀，數學教育學報，1995年第8期。
3.唐瑞芬，弗賴登塔爾教授關於數學教育的問題，數學教學，1988年第3期。
4.唐瑞芬，數學教學理論選講，華東師範大學出版社， 2001年。